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    （2013•长沙）如图，在平面坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．
    （1）求∠OAB的度数；
    （2）求证：△AOF∽△BEO；
    （3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）当x=0或y=0时分别可以求出y的值和x的值就可以求出OA与OB的值，从而就可以得出结论；
    （2）由（1）可知∠OAB=45°，所以△AOB是等腰直角三角形，所以AB：OA=
    		2
    ：1，根据平行线的性质可以得出
    BE
    OM
    =
    AB
    OA
    =
    		2
    ，
    AF
    ON
    =
    AB
    OB
    =
    		2
    ，就可以得出
    AF
    OB
    =
    OA
    BE
    ．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出结论；
    （3）先根据E、F的坐标表示出相应的线段，根据勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S1，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S2，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值．
    解答：解：（1）∵直线y=-x+2，∴当x=0时，y=2，B（0，2），
    当y=0时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．
    ∵∠AOB=90°
    ∴∠OAB=45°；

    （2）∵四边形OMPN是矩形，
    ∴PM∥ON，NP∥OM，
    ∴
    BE
    OM
    =
    AB
    OA
    =
    		2
    ，
    AF
    ON
    =
    AB
    OB
    =
    		2
    ，
    ∴BE=
    		2
    OM，AF=
    		2
    ON，
    ∴BE•AF=
    		2
    OM•
    		2
    ON=2OM•ON．
    ∵矩形PMON的面积为2，
    ∴OM•ON=2
    ∴BE•AF=4．
    ∵OA=OB=2，
    ∴OA•OB=4，
    ∴BE•AF=OA•OB，
    即
    AF
    OB
    =
    OA
    BE
    ．
    ∵∠OAF=∠EBO=45°，
    ∴△AOF∽△BEO；

    （3）∵四边形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
    ∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．
    ∵E点的横坐标为a，E（a，2-a），
    ∴AM=EM=2-a，
    ∴AE2=2（2-a）2=2a2-8a+8．
    ∵F的纵坐标为b，F（2-b，b）
    ∴BN=FN=2-b，
    ∴BF2=2（2-b）2=2b2-8b+8．
    ∴PF=PE=a+b-2，
    ∴EF2=2（a+b-2）2=2a2+4ab+2b2-8a-8b+8．
    ∵ab=2，
    ∴EF2=2a2+2b2-8a-8b+16
    ∴EF2=AE2+BF2．
    ∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为
    S1=
    π
    4
    EF2=
    π
    4
    •2（a+b-2）2=
    π
    2
    （a+b-2）2．
    ∵S梯形OMPF=
    1
    2
    （PF+ON）•PM，S△PEF=
    1
    2
    PF•PE，S△OME=
    1
    2
    OM•EM，
    ∴S2=S梯形OMPF-S△PEF-S△OME，
    =
    1
    2
    （PF+ON）•PM-
    1
    2
    PF•PE-
    1
    2
    OM•EM，
    =
    1
    2
    [PF（PM-PE）+OM（PM-EM）]，
    =
    1
    2
    （PF•EM+OM•PE），
    =
    1
    2
    PE（EM+OM），
    =
    1
    2
    （a+b-2）（2-a+a），
    =a+b-2．
    ∴S1+S2=
    π
    2
    （a+b-2）2+a+b-2．
    设m=a+b-2，则S1+S2=
    π
    2
    m2+m=
    π
    2
    （m+
    1
    π
    ）2-
    1
    2π
    ，
    ∵面积不可能为负数，
    ∴当m＞-
    1
    π
    时，S1+S2随m的增大而增大．
    当m最小时，S1+S2最小．
    ∵m=a+b-2=a+
    2
    a
    -2=（
    		a
    -
    		2
    		a
    ）2+2
    		2
    -2，
    ∴当
    		a
    =
    		2
    		a
    ，即a=b=
    		2
    时，m最小，最小值为2
    		2
    -2
    ∴S1+S2的最小值=
    π
    2
    （2
    		2
    -2）2+2
    		2
    -2，
    =2（3-2
    		2
    ）π+2
    		2
    -2．
    点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，梯形的面积公式的运用，圆的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用二次函数的顶点式的运用，在解答时运用二次函数的顶点式求最值是关键和难点．
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