Question

△ABC内有一点P，过P作△ABC三边的平行线MN∥BC，IJ∥CA，EF∥AB，其中F，J在BC边上，E，N在CA边上，I，M在AB边上．并且三个平行四边形AEPI，BFPM，CNPJ的面积分别为S₁，S₂，S₃，那么△ABC的面积为

 

（用S₁，S₂，S₃的式子表示）

Answer 1

分析：利用△ABC∽△AMN∽△IBJ∽△EFC∽△OFJ∽△EPN∽△IMP，及其相似比，求得S_△ABC、S_△AMN，令S_△PFJ=a²，S_△EPN=b²，S_△DCP=c²，a，b，c＞0，则S_△AMN=（b+c）²，S_△IBJ=（c+a）²，S_△EFC=（a+b）²，分别求出（用S₁，S₂，S₃的式子表示）a、b、c，然后即可解题．

解答：解：
∵△ABC∽△AMN∽△IBJ∽△EFC∽△OFJ∽△EPN∽△IMP，
∴相似比为BC：MN：BJ：FC：FJ：PN：MP．
∵BC=FJ+PN+MP，MN=MP+PN，BJ=BF+FJ，FC=FJ+PN，
∴S_△ABC=S=(

S△PFJ

+

S△DCP

+ 

S△EPN

)  2．
S_△AMN=(

S△DCP

+

S△EPN

) 2，
令S_△PFJ=a²，S_△EPN=b²，S_△DCP=c²，a，b，c＞0，
则S_△AMN=（b+c）²，S_△IBJ=（c+a）²，S_△EFC=（a+b）²
S_?AEPI=S₁=2bc，S_?BFPM=S₂=2ca，
由S_?CNPJ=S₃=2ab可推出

S1S2S3

=2

2

abc，
a=

S2S3 2S1

，b=

S3S1 2S2

，c=

S1S2 2S3

推出S=（a+b+c）²
=(

S2S3 2S1

+

S3S1 2S2

+

S1S2 2S3

)  2
=

(S2S3+S3S1+S1S2)    2

2S1S2S3

．
故填：

(S2S3+S3S1+S1S2)    2

2S1S2S3

．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的理解和掌握，此外还涉及到了三角形面积，平行四边形面积，步骤繁琐，稍有疏忽，导致整个题错误，因此属于难题．