Question

（2012•兰州）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若tanC=

5

2

，DE=2，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，BD，求出∠ADB=∠BDC=90°，推出DE=BE=CE，推出∠EDB=∠EBD，∠OBD=∠ODB，推出∠EDO=∠EBO=90°即可；
（2）BD=

5

x，CD=2x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出（

5

x）²+（2x）²=16，求出x，求出BD，根据tan∠ABD=tanC求出AD=

5

2

BD，代入求出即可．

解答：解：（1）DE与⊙O相切，
理由如下：连接OD，BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠EDB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD+∠DBE=∠ODB+∠EDB，
即∠EDO=∠EBO=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE与⊙O相切．

（2）∵tanC=

5

2

=

BD

DC

，可设BD=

5

x，CD=2x，DE=2，
∵在Rt△BCD中，BC=2DE=4，BD²+CD²=BC²
∴（

5

x）²+（2x）²=16，
解得：x=±

4

3

（负值舍去）
∴BD=

5

x=

4

3

5

，
∵∠ABD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠C，
∴tan∠ABD=tanC，
∵tan∠ABD=

AD

BD

=

5

2

，
AD=

5

2

BD=

5

2

×

4 5

3

=

10

3

．
答：AD的长是

10

3

．

点评：本题综合考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，切线的判定等知识点，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，注意：①证切线的方法，②方程思想的运用．