Question

如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径作圆，过A点作圆的切线，交DC于E，切点为F．
（1）求△ADE的面积； 
（2）求BF的长．

Answer 1

分析：（1）由AB垂直于BC，得到AB与圆O相切，再由AE与圆O相切，利用切线长定理得到AB=AF=4，同理得到EF=FC=x，表示出AE与DE，在直角三角形ADE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出DE的长，由AD于DE乘积的一半即可求出三角形ADE的面积；
（2）连接OF，OA，利用角平分线逆定理得到AO为角平分线，再由AB=AF，利用三线合一得到AO垂直于BF，M为BF中点，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，利用面积法求出BM的长，由BF=2BM即可求出BF的长．

解答：解：（1）∵AB⊥BC，
∴AB为圆O的切线，
又AE为圆O的切线，
∴AB=AF=4，
同理得到EF=EC，
设EF=EC=x，则有DE=DC-EC=4-x，AE=AF+EF=4+x，
在Rt△ADE中，利用勾股定理得：AE²=AD²+DE²，即（4+x）²=4²+（4-x）²，
解得：x=1，
∴DE=4-1=3，
则S_△ADE=

1

2

AD•DE=6；

（2）连接OA，OF，
∵OB⊥AB，OF⊥AF，且OB=OF，
∴AO为∠BAF的平分线，
∵AB=AF，
∴AM⊥BF，M为BF的中点，
在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OA=

AB2+OB2

=2

5

，
∵S_△ABO=

1

2

AB•OB=

1

2

OA•BM，
∴BM=

4×2

2 5

=

4 5

5

，
则BF=2BM=

8 5

5

．

点评：此题考查了切线的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．