Question

在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，请求出∠DCA的度数．

Answer 1

解：（1）如图1，过点O作OE⊥AC于E
则AE=AC=×2=1，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OE=r，
在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，
即r²=1²+（r）²，解得r=；

（2）如图2，连结BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°，
根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角
∴∠DCA=∠B-∠A=70°-20°=50°．
分析：（1）过点O作OE⊥AC于E，由垂径定理可知AE=AC=×2=1，根据翻折后点D与圆心O重合，可知OE=r，在Rt△AOE中，根据勾股定理可得出r的值；
（2）连结BC，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，再根据∠BAC=20°，可得出∠B的度数，根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，故可得出结论．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．