Question

如图，∠A=45°，∠BCD=135°，∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB+∠AFD=∠P；③∠A=∠PEB+∠PFD．其中正确的有个．

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

D
分析：延长EP交AB于G，根据角平分线的定义可得∠1=∠AEP=∠AEB，∠2=∠PFD=∠AFD，再根据邻补角的定义求出∠BCF=45°，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和分别用∠1和∠2表示出∠EGB和∠EBG，再利用三角形的内角和定理列式求出∠1+∠2，然后表示出∠EPF即可判断出①②正确，再求出∠PEB+∠PFD=45°，判断出③正确．
解答：解：如图，延长EP交AB于G，
∵∠AEB与∠AFD的角平分线交于点P，
∴∠1=∠AEP=∠AEB，∠2=∠PFD=∠AFD，
∵∠BCD=135°，
∴∠BCF=180°-135°=45°，
在△AEG中，∠EGB=∠A+∠AEP=45°+∠1，
在△BCF中，∠EBG=∠AFD+∠BCF=2∠2+45°，
在△BEG中，∠1+∠EGB+∠EBG=180°，
即∠1+45°+∠1+2∠2+45°=180°，
解得∠1+∠2=45°，
在△GFP中，∠EPF=∠EGB+∠2=45°+∠1+∠2=45°+45°=90°，
∴EP⊥FP，故①正确；
∠AEB+∠AFD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=90°=∠P，故②正确；
∵∠PEB+∠PFD=∠1+∠2=45°，
∴∠A=∠PEB+∠PFD=45°，故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③共3个．
故选D．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出三角形并求出∠1+∠2=45°是解题的关键．