Question

2．已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，点M是射线EC上的一个动点，作等边△DMN，使△DMN与△ABC在BC边同侧，连接NF．
（1）如图1，当点M与点C重合时，直接写出线段FN与线段EM的数量关系；
（2）当点M在线段EC上（点M与点E，C不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）连接DF，直线DM与直线AC相交于点G，若△DNF的面积是△GMC面积的9倍，AB=8，请直接写出线段CM的长．

Answer 1

分析 （1）先连接ED，EF，DF，根据D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，得出△DEF是等边三角形，进而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；
（2）与（1）类似，先连接ED，EF，DF，得出△DEF是等边三角形，进而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；
（3）分两种情况：①当M在线段CE上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形，再根据条件判定△GCM∽△DEM，根据相似三角形的性质，得出$\frac{CM}{EM}$=$\frac{1}{3}$，再根据CE=$\frac{1}{2}$BC=4，即可得出CM=$\frac{1}{4}$CE=1；②当M在线段EC延长线上时，运用同样的方法，判定△GCM∽△DEM，得出$\frac{CM}{EM}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{CM}{CE}$=$\frac{1}{2}$，再根据CE=4，即可得出CM=$\frac{1}{2}$CE=2．

解答 解：（1）线段FN与线段EM的数量关系为：FN=EM．
理由：如图1，连接ED，EF，DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴DE=EF=FD，即△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=60°，
又∵△DMN是等边三角形，
∴DN=DM，∠MDN=60°，
∴∠FDN=∠EDM，
在△FDN和△EDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=ED}\\{∠FDN=∠EDM}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△DFN≌△DEM（SAS），
∴FN=EM．

（2）补全图形，如图2．结论FN=EM成立．
证明：连接ED，EF，DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴DE=EF=FD，即△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=60°，
又∵△DMN是等边三角形，
∴DN=DM，∠MDN=60°，
∴∠FDN=∠EDM，
在△FDN和△EDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=ED}\\{∠FDN=∠EDM}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△DFN≌△DEM（SAS），
∴FN=EM．

（3）分两种情况：
①如图3，当M在线段CE上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形，
由（2）可得△DFN≌△DEM，
∴△DFN与△DEM面积相等，
∵△DNF的面积是△GMC面积的9倍，
∴△DEM的面积是△GMC面积的9倍，
∵CG∥DE，
∴△GCM∽△DEM，
∴$\frac{CM}{EM}$=$\sqrt{\frac{1}{9}}$=$\frac{1}{3}$，
又∵CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴CM=$\frac{1}{4}$CE=1；
②如图4，当M在线段EC延长线上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形，
同理可得△DFN≌△DEM，
∴△DFN与△DEM面积相等，
∵△DNF的面积是△GMC面积的9倍，
∴△DEM的面积是△GMC面积的9倍，
∵CG∥DE，
∴△GCM∽△DEM，
∴$\frac{CM}{EM}$=$\sqrt{\frac{1}{9}}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{CM}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
又∵CE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴CM=$\frac{1}{2}$CE=2．
综上所述，CM的长为1或2．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意灵活运用：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．