Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E，且CE=CF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD=CD=6，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OC．根据角平分线性质定理的逆定理，得∠CAE=∠CAB．根据OC=OA，得到∠CAB=∠OCA，从而得到∠CAE=∠OCA，根据内错角相等，两条直线平行，得到OC∥AE，从而根据切线的判定证明结论；
（2）根据AD=CD，得到∠DAC=∠DCA=∠CAB，从而DC∥AB，得到四边形AOCD是平行四边形．根据平行四边形的性质，得OC=AD=6，则AB=12．根据∠CAE=∠CAB，得到弧CD=弧CB，则△OCB是等边三角形，根据等边三角形的性质求得CF=3

3

，再根据梯形的面积公式进行计算．

解答：解：（1）连接OC．
∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF，
∴∠CAE=∠CAB．
∵OC=OA，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∴OC⊥CE，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；

（2）∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB．
∵∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴四边形AOCD是平行四边形．
∴OC=AD=6，AB=12．
∵∠CAE=∠CAB，
∴弧CD=弧CB，
∴CD=CB=6，
∴△OCB是等边三角形，
∴CF=3

3

，
∴S_{四边形ABCD}=

(CD+AB)CF

2

=

(6+12)•3 3

2

=27

3

．

点评：此题综合运用了切线的判定、角平分线性质定理的逆定理、平行线的判定和性质、圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质，是一道综合性较强的题目．