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如图所示,已知:矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?并证明你的结论.

【答案】分析:(1)由矩形的性质:OB=OD,AE∥CF证得△BOE≌△DOF;
(2)当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形.根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形,当EF⊥AC,可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定.
解答:证明:(1)∵四边形ABCD是矩形
∴OB=OD(矩形的对角线互相平分)
AE∥CF(矩形的对边平行)
∴∠E=∠F,∠OBE=∠ODF
∴△BOE≌△DOF(AAS);

(2)当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形.
证明:∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC(矩形的对角线互相平分)
又∵△BOE≌△DOF
∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
点评:本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定.解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理.
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