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(2011•沙县质检)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的周长为16,边OA比OC长2.点E为边BC的中点,以OE为直径的⊙M交x轴于点D,过点D作DF⊥AE于点F.
(1)求OA、OC的长;
(2)请判断直线DF与⊙M的位置关系,并加以说明;
(3)小明在解答本题时发现△AOE是等腰三角形,他断定;“直线BC上一定存在除点E以外的点P.使得△AOP也是等腰三角形”,你同意他的看法吗?若同意,求出这样的点P的坐标;若不同意,请说明理由.
分析:(1)根据矩形的性质推出OC=AB,OA=CB,代入求出即可;
(2)连接MD,ED,根据矩形的性质和三角形全等的判定定理SAS推出△OCE≌△ABE,推出OE=EA,根据等腰三角形的性质推出∠MDO=∠EAO,根据平行线的判定推出MD∥AE,得到DF⊥AE即可;
(3)①当OA=AP时,以点A为圆心,以AO为半径画弧,交BC于P1、P2两点,作P1H⊥OA于H,求出P1H、AP1的值,求出OH=1,即可求出P1、P2的坐标②当OA=OP时,同法可求P3、P4的坐标.
解答:解:(1)∵矩形ABCO,
∴OC=AB,OA=CB,
∵OA=OC+2,
∴OC=3,OA=5.

(2)直线DF与⊙M的位置关系是:相切,
理由是:连接MD,ED.
∵矩形ABCO,
∴OC=AB,∠OCB=∠ABE=90°,
在△OCE和△ABE中
OC=AB
∠OCB=∠ABC
CE=BE

∴△OCE≌△ABE,
∴OE=EA,
∴∠EOA=∠EAO,
∵MO=MD,
∴∠MOD=∠MDO,
∴∠MDO=∠EAO,
∴MD∥AE,
∵DF⊥AE,
∴DF⊥MD,
∴直线DF与⊙M的位置关系是相切.

(3)同意,理由如下:
①当OA=AP时,以点A为圆心,以AO为半径画弧,交BC于P1、P2两点,作P1H⊥OA于H,P1H=OC=3,AP1=OA=5,∴OH=1,
因此P1(1,3),P2(9,3);
②当OA=OP时,同法可求P3(4,3),P4(-4,3).
因此在直线BC上,除了E点外,即存在⊙M内的点P1,又存在⊙M外的点P2、P3、P4,它们分别使△AOP是等腰三角形.
点评:本题考查了等腰三角形的性质和判定,平行线的性质和判定,矩形的性质,全等三角形的性质和判定,切线的性质,坐标与图形性质等知识点的综合运用,题目综合性比较强,有一定的难度,对学生提出了较高的要求.分类讨论思想的运用.
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