Question

小丽同学要画∠AOB的平分线，却没有量角器和圆规，于是她用三角尺按下面方法画角平分线：
①在∠AOB的两边上，分别取OM=ON；
②分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P；
③画射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
（1）请问：小丽的画法正确吗？试证明你的结论；
（2）如果你现在只有刻度尺，能否画一个角的角平分线？请你在备用图中试一试．（不需要写作法，但是要让读者看懂，你可以在图中标明数据）

Answer 1

解：（1）小丽的画法是正确的，
证明如下：
因为Rt△OMP与Rt△ONP中，OM=ON，OP=OP，
所以Rt△OMP≌Rt△ONP，
所以∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB；

（2）只有刻度尺能画一个角的角平分线，画法如图：
①分别在∠AOB的两边取M、N，使OM=ON；
②连接MN，并取MN的中点P；
③画射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
作图依据：等腰三角形底边上的中线平分顶角．
分析：（1）小丽的画法正确，在Rt△OMP与Rt△ONP中，因为OP=OP，OM=ON∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），所以∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB．
（2）分别在∠AOB的两边取M、N，使OM=ON，连接MN，并取MN的中点P，画射线OP，则OP为∠AOB的平分线．（利用了等腰三角形三线合一定理）
点评：本题利用了直角三角形的判定以及等腰三角形三线合一定理（底边上的中线平分顶角，并且垂直于底边）．