Question

如图，一个半径为r的⊙O与矩形ABCD的两边AB、BC都相切，BC=4．若将矩形的边AD沿AE对折后和⊙O相切于点D′，折痕AE的长为5，则半径r的值为

4

7

．

Answer 1

分析：由已知及折叠定理可得AD=AD'=BC=4，根据勾股定理可得D'E=3，即得DE=3，则用r表示出OE、OG及EG，再用勾股定理得出关于r的方程，从而求出半径r的值．

解答：解：连接O与⊙O的切点F，并延长FO交CD与G，连接OD'，
∵一个半径为r的⊙O与矩形ABCD的两边AB、BC都相切，BC=4．若将矩形的边AD沿AE对折后和⊙O相切于点D′，折痕AE的长为5，
∴AD=AD'=BC=4，
DG=AF=AD'=4，
D'E=

AE2-AD′2

=

52-42

=3，
DE=D'E=3，
则OG=FG-OF=BC-OF=4-r，
OE=D'O+D'E=r+3，
EG=DG-DE=4-3=1，
在直角三角形OGE中，由勾股定理得：
OE²=EG²+OG²，
即（r+3）²=1²+（4-r）²，
解得：r=

4

7

，
所以半径r的值为

4

7

．
故答案为：

4

7

．

点评：此题考查的知识点是切线的性质、矩形的性质即折叠定理，关键是根据已知和折叠定理用r表示出OE、OG及EG，再用勾股定理求出r．