Question

已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，并且AG：GX=2：1．

Answer 1

分析：此题是三角形重心性质的证明，设AX，BY交于一点G，作AG，BG中点D，E，根据中位线定理求得四边形DEXY为平行四边形，所以GD=DA=GX，GY=GE=EB，所以AG：GX=2：1，BG：GY=2：1；同理，设BY与CZ相交于一点G′，证明G′与G重合即可．

解答：证明：设AX，BY交于一点G，连接AG，BG中点D，E．
∵X，Y分别是BC，AC的中点，
∴XY∥DE且XY=DE，
∴四边形DEXY为平行四边形，
∴GD=DA=GX，GY=GE=EB，
∴AG：GX=2：1，BG：GY=2：1．
同理，若BY与CZ相交于一点G′，必有BG′：G′Y=2：1，G′C：G′Z′=2：1，
∴G′与G重合，
∴AX，BY，CZ相交于一点G，并且AG：GX=2：1．

点评：此题考查三角形重心性质的证明，先设相交于不同点，再证明点重合是基本思路．