Question

2．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．
①求证：∠ABC=∠ADC；
②求∠CED的度数．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质可得∠BAE=∠EAD，根据平行线的性质可得∠AEB=∠EAD，等量代换即可求解；
（2）①先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解；
②根据∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x°，∠ADE=3x°，∠ADC=2x°，根据平行线的性质得出方程90-x+60+3x=180，求出x即可．

解答 （1）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∴∠BAE=∠BEA；

（2）①证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC；

②解：∵∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x°，
∴∠ADE=3x°，∠ADC=2x°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠DAB=180°-2x°，
∵∠DAE=∠BAE=∠BEA=90°-x°，
又∵AD∥BC，
∴∠BED+∠ADE=180°，
∵∠AED=60°，
即90-x+60+3x=180，
∴∠CDE=x°=15°，∠ADE=45°，
∵AD∥BC，
∴∠CED=180°-∠ADE=135°．

点评 本题考查了平行线的性质和判定的应用，用了方程的思想，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．