Question

（2012•南关区模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AD=8cm，DC=8cm，AB=12cm．点P从点A出发，沿线段AD匀速运动，与此同时，点Q从点B出发，沿线段BA匀速运动，P、Q两点运动的速度均为1cm/s，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，过点Q作QM⊥AB交折线BC-CD于点M．以线段MQ为直角边在MQ的左侧作等腰直角△MQN，以线段AP为一边在AP的右侧作正方形APEF，设运动时间为t（s），△MQN与正方形APEF重叠部分的面积为S（cm）．

（1）求两点N、F相遇时t的值；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）当点M在线段CD上运动时，设MN分别交PE、PA于点G、H，请直接写出在此时段△PGH扫过平面部分的面积．

Answer 1

分析：（1）作CG⊥AB于G，由条件可以得出四边形AGCD是矩形，就可以求出CG、GB的值，求出∠B的正切值，由QB就可以求出QM，从而求出FQ的值，根据AN+NQ+QB=AB建立方程就可以求出t值；
（2）分四种情况讨论：①0＜t≤3；②3＜t≤4；③4＜t≤6；④6＜t≤8，画出每一种情况下的图形，再根据面积公式即可求解；
（3）当点M在线段CD上运动时，画出图形可知，当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL，根据图形的面积公式即可求解．

解答：解：（1）作CG⊥AB于G，如图1．
∴∠CGA=∠CGB=90°．
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°．
∵AB∥CD，
∴∠DCG=∠CGB=90°，
∴四边形AGCD是矩形．
∵AD=8cm，DC=8cm，
∴AD=DC，
∴矩形AGCD是正方形．
∴AG=GC=CD=AD=8cm．
∵AB=12cm，
∴GB=4cm，
∴tan∠CBG=2．
∵QB=t，
∴MQ=2t．
∵△NQM是等腰直角三角形，
∴MQ=NQ=2t．
∵四边形ANEP是正方形，
∴PA=NA=t，
∴t+2t+t=12，
∴t=3；

（2）①当0＜t≤3时，如图2，S=0；
②当3＜t≤4时，如图3．
∵QB=t，
∴MQ=NQ=2t，
∴AN=AB-NQ-QB=12-3t．
∵PA=AF=t，
∴NF=AF-AN=t-（12-3t）=4t-12，
∴GF=NF=4t-12，
∴S=S_△NFG=

1

2

•GF•NF=

1

2

（4t-12）²=8（t-3）²；
③当4＜t≤6时，如图4．
∵QB=t，
∴AQ=AB-QB=12-t，
∴AN=NQ-AQ=8-（12-t）=t-4=AH，
∴PH=AP-AH=t-（t-4）=4，
∴S=S_{正方形APEF}-S_△PHG=t²-

1

2

×4×4=t²-8；
④当6＜t≤8时，如图5．
∵QB=t，
∴AQ=AB-QB=12-t，
∴AN=NQ-AQ=8-（12-t）=t-4=AH，
∴PH=AP-AH=t-（t-4）=4=PG，
∴S=S_矩形APKQ-S_△PHG=t（12-t）-

1

2

×4×4=-t²+12t-8；

（3）当点M在线段CD上运动时，4≤t≤8，由t=4与t=8时的图形可知，
当4≤t≤8时△PGH扫过的平面部分为梯形ADRL，如图6．
∵RL=4（与t=4中图形的DP相等），AD=8，DR=4，
∴S_梯形ADRL=

1

2

（RL+AD）•DR=

1

2

（4+8）×4=24．
故此时段△PGH扫过平面部分的面积为24．

点评：本题考查了梯形、等腰直角三角形的性质，矩形、正方形的判定与性质，图形面积的计算，有一定难度．利用数形结合及分类讨论是解题的关键．