Question

九年级的小玲从小就喜欢画画，探究问题．下面请看她的探究过程：
（a）以AB为直径画半⊙O；（b）在半⊙O上任意取一点C；（c）画∠ACB的平分线与AB相交于点D； （d）画CD的中垂线m与AC、BC分别相交于E、F；（d）连接DE、DF．
结果她发现：（1）∠ADE与∠BDF互余；（2）四边形CEDF为正方形；（3）△AED与△DFB相似；（4）把△BFD绕着D点按逆时针方向旋转90°，B点的位置恰好在△ABC的AC边的直线上．
则你认为其中正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由于AB是直径，由圆周角定理知∠ACB=90°，而EF⊥OC，且OC是∠ECF的角平分线，即可证得△ECF是等腰直角三角形，CE=CF，由中垂线的性质知：CE=DE=CF=DF，即可证得四边形CEDF是正方形，然后根据这个条件来判断各选项是否正确．

解答：解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由（d）知：EF⊥CD，而CD平分∠ECF，易证得△ECF是等腰三角形；
∴CE=CF；
∵直线m垂直平分CD，
∴CE=DE，CF=DF，即CE=CF=DE=DF，
∴四边形CEDF是正方形；故（2）正确；
∴∠EDF=90°，则∠ADE+∠BDF=90°，故（1）正确；
由（b）知：DF∥AC，DE∥BC，
则∠FDB=∠EAD，∠EDA=∠FBD，
故可得Rt△AED∽Rt△DFB，故（3）正确；
把△BFD绕着D点按逆时针方向旋转90°，
∵∠EDF=90°，ED=DF，
∴旋转后点E和点F重合，
又∵∠DFB=90°，∠DEC=90°，
∴点B一定落在AC所在的直线上．
综上可得①②③④均正确．
故选D．

点评：此题属于圆的综合题，涉及了圆周角定理、正方形的判定、线段垂直平分线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，能够得到四边形CEDF是正方形是解决此题的关键，难度较大．