Question

13．如图，正三角形△OAB的边OA在x轴上，D是OB边上的动点（不与端点O，B重合），双曲线y=$\frac{k}{x}$过点D，且与BA交于点C，设AB=8，$\frac{BD}{BO}$=n．
（1）当n=$\frac{1}{4}$时，求反比例函数的表达式；
（2）若DC⊥BD，求n的值．

Answer 1

分析 （1）作DE⊥OA于点E．根据已知条件得到D的坐标是（3，3$\sqrt{3}$），把D（3，3$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{k}{x}$即可得到结论；
（2）由△ABC是等边三角形，得到OA=OB=AB．根据$\frac{BD}{BO}$=n，得到BD=n•BO=8n，求得OD=8-8n，求得D的坐标是（4-4n，4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$n）．求得C的坐标是（4+8n，4$\sqrt{3}$-8$\sqrt{3}$n）．列方程即可得到结论．

解答 解：（1）作DE⊥OA于点E．
∵BD=$\frac{1}{4}$OB=2，
∴OD=6，OE=3，DE=3$\sqrt{3}$，
∴D的坐标是（3，3$\sqrt{3}$），
把D（3，3$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=9$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式是y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴OA=OB=AB．
∵$\frac{BD}{BO}$=n，
∴BD=n•BO=8n，
∴OD=8-8n，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=4-4n．
∴DE=$\sqrt{3}$OE=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$n，
∴D的坐标是（4-4n，4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$n）．
在Rt△CDB中，CB=2BD=16n，
∴AC=8-16n，
过C作CF⊥OA于F，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=4-8n，CF=$\sqrt{3}$AF=4$\sqrt{3}$-8$\sqrt{3}$n．
∴OF=OA-AF=8-（4-8n）=4+8n．
∴C的坐标是（4+8n，4$\sqrt{3}$-8$\sqrt{3}$n）．
∵D，C在反比例函数的图象上，
∴（4-4n，4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$n）=k=（4$\sqrt{3}$+8n）（4$\sqrt{3}$-8$\sqrt{3}$n）．
∴5n²-2n=0，
∴n₁=$\frac{2}{5}$，n₂=0（舍去）．
∴当DC⊥BD时，n=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．