Question

（2013•松北区三模）如图，直线y=-2x+5分别与x、y轴交于点A、B，经过点C（-2，0）的直线y=x+b与y轴交于点D，且直线AB、CD交于点E．
（1）求点E的坐标．
（2）点Q（m，n）为线段AB上一点（与点E不重合），QM∥x轴，交直线CE于点M，设线段QM的长为d，写出d与m的函数关系式（直接写出相应m的取值范围）．
（3）在（2）的条件下，点E关于直线QM的对称点为F，当BFC=90°时，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）把C的坐标代入y=x+b即可求得b的值，然后解直线AB与CD的解析式组成的方程组即可求解；
（2）根据M、Q的纵坐标相等，则横坐标的差的绝对值就是MQ的长，可以分M在两直线交点的左侧和右侧两种情况进行讨论求解；
（3）过点F作GH⊥x轴于点H，作BG⊥GH于点G，设F（1，k），根据△BGH∽△FHC，相似三角形的对应边的比相等即可得到一个k的方程，从而求得k的值，得到M的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=x+b经过点C（-2，0）
∴0=-2+b    b=2
由

y=-2x+5 y=x+2

 得

x=1 y=3

∴E（1，3）；

（2）∵点Q（m，n）为线段AB上一点，
∴n=-2m+5
如图1，当点Q在BE上时，即0＜m＜1
∵QM∥x轴∴点M的纵坐标为n，将y=n代入y=x+2=n  
解得：x=n-2
∴M（n-2，n）
QM=n-2-m=-2m+5-2-m=-3m+3（0＜m＜1）；
如图2，当点Q在AE上时，即1＜m＜2.5
QM=3m-3（1＜m＜2.5）．

（3）如图，过点F作GH⊥x轴于点H，作BG⊥GH于点G．
∵△BGH∽△FHC
∴BG：FH=GF：CH
∵点E、点F关于直线QM的对称，
∴设F（1，k）则BG=1，GF=5-k，FH=k，CH=3
1：k=（5-k）：3   即k²-5k+3=0   
解得：k=

5± 13

2

n=

5± 13 2 +3

2

=

11± 13

4

，M（

3- 13

4

，

11- 13

4

）或M（

3+ 13

4

，

11+ 13

4

）．

点评：本题是一次函数与相似三角形的性质以及对称的性质的综合应用，正确进行讨论是关键．