Question

如图，点A在x轴的负半轴上，OA=4，AB=OB=．将△ABO绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A₁B₁O，再继续旋转90°，得到△A₂B₂O．抛物线y=ax²+bx+3经过B、B₁两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点B₂是否在此抛物线上，请说明理由；
（3）在该抛物线上找一点P，使得△PBB₂是以BB₂为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标；
（4）在该抛物线上，是否存在两点M、N，使得原点O是线段MN的中点？若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：
（1）过点B作BE⊥OA于点E，
∵AB=OB，
∴OE=OA=2．
又OB=，
∴BE==1．
∴B（-2，1）．（1）
∴B₁（1，2），B₂（2，-1）．
∵抛物线y=ax²+bx+3经过B、B₁两点，
∴．
解得．
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+3．

（2）∵当x=2时，y=-×2²-×2+3=-≠-1，
∴点B₂（2，-1）不在此抛物线上．

（3）点P应在线段BB₂的垂直平分线上，由题意可知，OB₁⊥BB₂且平分BB₂，
∴点P在直线OB₁上．
可求得OB₁所在直线的解析式为y=2x．
又点P是直线y=2x与抛物线y=-x²-x+3的交点，
由．
解得，．
∴符合条件的点P有两个，P₁（1，2），P₂（-，-9）．

（4）存在．（-，）（，）．
分析：（1）可先求出B点的坐标，根据旋转的性质不难得出B1的横坐标的就是B点的纵坐标，而B₁的纵坐标就是B的横坐标的绝对值，由此可求出B₁的坐标，同理可求出B2的坐标，然后将这B、B₁点的坐标代入抛物线中，即可求出二次函数的解析式．
（2）根据（1）求出的B2和抛物线的解析式即可判断出B₂是否在抛物线上．
（3）已知了等腰三角形是以BB₂为底，因此P点必为BB2的垂直平分线与抛物线的交点，可先求出BB₂的垂直平分线的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出符合条件的P点的坐标．
（4）由题意可知：M、N关于原点对称，那么可设两点的坐标分别为（x，y），（-x，-y），由于两点都在抛物线上，因此可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，可得出一个关于x、y的方程组，即可求出两点的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、等腰三角形的判定等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．