Question

如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，

3

≈1.73，π≈3.14）．

Answer 1

考点：切线的性质,矩形的性质,扇形面积的计算,相似三角形的判定,特殊角的三角函数值

专题：综合题

分析：（1）由条件可证∠AED=∠EFB，从而可证△ADE∽△BEF．
（2）由DF与⊙O相切，DH=OH=OG=3可得∠ODG=30°，从而有∠GOE=120°，并可求出DG、EF长，从而可以求出△DGO、△DEF、扇形OEG的面积，进而可以求出图中阴影部分的面积．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°．
∴∠AED=90°-∠BEF=∠EFB．
∵∠A=∠B，∠AED=∠EFB，
∴△ADE∽△BEF．

（2）解：∵DF与⊙O相切于点G，
∴OG⊥DG．
∴∠DGO=90°．
∵DH=OH=OG，
∴sin∠ODG=

OG

OD

=

1

2

．
∴∠ODG=30°．
∴∠GOE=120°．
∴S_扇形OEG=

120π×32

360

=3π．
在Rt△DGO中，
cos∠ODG=

DG

DO

=

DG

6

=

3

2

．
∴DG=3

3

．
在Rt△DEF中，
tan∠EDF=

EF

DE

=

EF

9

=

3

3

．
∴EF=3

3

．
∴S_△DEF=

1

2

DE•EF=

1

2

×9×3

3

=

27 3

2

，
S_△DGO=

1

2

DG•GO=

1

2

×3

3

×3=

9 3

2

．
∴S_阴影=S_△DEF-S_△DGO-S_扇形OEG
=

27 3

2

-

9 3

2

-3π
=.9

3

-3π
≈9×1.73-3×3.14
=6.15
≈6.2
∴图中阴影部分的面积约为6.2．

点评：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定、切线的性质、特殊角的三角函数值、扇形的面积等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积．