Question

一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．

（1）求使图1花圃面积为最大时R－r的值及此时花圃面积，其中R、r分别为大圆和小圆的半径;

（2）若L=160m，r=10m，求使图2面积为最大时的θ值．

 

Answer 1

【答案】

（1）花圃面积最大时的值为，最大面积为（2）度

【解析】解：（1）若使形如图1花圃面积为最大，则必定要求图2扇环面积最大．

设图2扇环的圆心角为θ，面积为S，根据题意得：

，                             ………………………2分

=．

∴．                          ……………………………3分

∴=               ……………………………4分

=

==

．   ……………………………5分

∵式中∴S在时为最大，最大值为．      ………6分

∴花圃面积最大时的值为，最大面积为．         ……………7分

(2)∵当时，S取值最大，

∴(m)，(m)． …………………………8分

∴==(度)．     ………………………10分

（1）由于花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，则图1 一个扇环的周长等于两个扇形的弧长与两个的和，根据弧长公式得到，再根据扇形面积公式，化简得

，根据二次函数的最值即可解决问题

（2）根据（1）中，可以求出值