Question

如图，在矩形ABCD中，AB=24厘米，BC=10厘米，点P从A开始沿AB边以4厘米/秒的速度运动，点Q从C开始沿CD边2厘米/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求P、Q两点之间的距离；
（2）t为何值时，线段AQ与DP互相平分？
（3）t为何值时，四边形APQD的面积为矩形面积的？

Answer 1

解：（1）如图所示：连接PQ，过点P作PE⊥DQ于点E，
∵AB=24厘米，BC=10厘米，点P从A开始沿AB边以4厘米/秒的速度运动，点Q从C开始沿CD边2厘米/秒的速度移动，
∴当t=2秒时，QC=4cm，AP=8cm，
∴DQ=24-QC=20，则EQ=12，
∴PQ===2（cm），

（2）∵AP=4t，DQ=24-2t，
当线段AQ与DP互相平分，则四边形APQD为矩形时，
则AP=DQ，即4t=24-2t，
解得：t=4．
故t为4秒时，线段AQ与DP互相平分；

（3）∵P在AB上，
∴S=（DQ+AP）AD，
=（4t+24-2t）×10，
=10t+120（0＜t≤6），
S_矩形ABCD=10×24=240，
∴10t+120=×240，
解得：t=3．
∴t为3秒时，四边形APQD的面积为矩形面积的．
分析：（1）当t=2秒时，表示出QC，AP的长，利用勾股定理求出PQ的长即可；
（2）根据线段AQ与DP互相平分，则四边形APQDA为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解出即可；
（3）用t表示出四边形APQD的面积，再求出矩形面积的进而得出即可．
点评：本题考查了矩形的性质及勾股定理等知识，根据运动速度得出QC以及AP的长是解题关键．