Question

问题：如图，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．试探究PG与PC的位置关系及

PG

PC

的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及

PG

PC

的值；（要有具体过程）
（2）若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD≌矩形BEFG”其它条件不变，画图试探求线段PG与PC的关系．

Answer 1

分析：（1）利用角边角证明△GFP≌△HDP，证得GP=HP，GF=HD，进而利用正方形的性质可得CH=CG，即可得所求；
（2）由（1）同法可得GP=HP，GF=HD，根据所给矩形全等可得CH=CG，即可得所求．

解答：解：（1）如图1，当点A，B，E在同一条直线上时，有结论：PG⊥PC，PG=PC．
延长GP交DC与点H．
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP．
由题意知DC∥AE，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD、BEFG是正方形，
∴CD=CB，GB=GF．
∴CH=CG，
又∵∠HCG=90°，GP=HP，
∴PG⊥PC，PG=PC；

（2）如图2，当点A，B，E在同一条直线上时，有结论：PG⊥PC，PG=PC
延长GP交DC延长线于点H．
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP．
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵矩形ABCD≌矩形BEFG，
∴CD=GB，CB=GF，
∴CH=CG
又∵∠HCG=90°，GP=HP，
∴PG⊥PC，PG=PC．

点评：综合考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质；采用类比的思想做相类似的问题是解决本题的关键；利用证明三角形全等的方法求解是解决本题的基本思路．