Question

如图，已知正方形ABCD的面积为S．
（1）求作：四边形A₁B₁C₁D₁，使得点A₁和点A关于点B对称，点B₁和点B关于点C对称，点C₁和点C关于点D对称，点D₁和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）
（2）用S表示（1）中作出的四边形A₁B₁C₁D₁的面积S₁；
（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S₂，则S₁与S₂是否相等，为什么？

Answer 1

解：（1）如图①所示．

（2）设正方形ABCD的边长为a，
则AA₁=2a，S_△AA1D1=•AA₁•AD₁=a²，
同理，S_△BB1A1=S_△CC1B1=S_△DD1C1=a²，
∴S₁=S_△AA1D1+S_△BB1A1+S_△CC1B1+S_△DD1C1+S_{正方形ABCD}=5a²=5S．
（本问也可以先证明四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，再求出其边长为a，从而算出S_{四边形A1B1C1D1}=5S）

（3）S₁=S₂
理由如下：
首先画出图形②，连接BD、BD₁，
∵△BDD₁中，AB是中线，
∴S_△ABD1=S_△ABD．
又∵△AA₁D₁中，BD₁是中线，
∴S_△ABD1=S_△A1BD1
∴S_△AA1D1=2S_△ABD
同理，得S_△CC1B1=2S_△CBD
∴S_△AA1D1+S_△CC1B1=2（S_△ABD+S_△CBD）=2S．
同理，得S_△BA1B1+S_△DD1C1=2S，
∴S₂=S_△AA1D1+S_△BB1A1+S_△CC1B1+S_△DD1C1+S_{四边形ABCD}=5S．
由（2）得，S₁=5S．
∴S₁=S₂．
分析：（1）根据对称的性质可知．使得点A₁和点A关于点B对称，即是连接AB并延长相同的长度找到对应点A′，其它三点同样的方法找到对应点，顺次连接．
（2）设正方形ABCD的边长为a，根据两个正方形边长的比值，利用面积比等于相似比，来求小正方形的面积．
（3）相等．因为一个四边形可以分成两个三角形，根据三角形的面积公式，等底等高的三角形面积相等．
点评：本题是一道综合性很强的题，综合了轴对称，正方形的面积，及四边形，三角形的面积，所以我们学生学知识一定不要机械的学，要会联系起来．