Question

已知：如图，等边△ABC中，AB=1，P是AB边上一动点，作PE⊥BC，垂足为E；作EF⊥AC，垂足为F；作FQ⊥AB，垂足为Q．
（1）设BP=x，AQ=y，求y与x之间的函数关系式；
（2）当点P和点Q重合时，求线段EF的长；
（3）当点P和点Q不重合，但线段PE、FQ延长线相交时，求它们与线段EF围成的三角形周长的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB=1．
∴∠A=∠B=∠C=60°，BC=CA=AB=1．
又∵∠BEP=∠CFE=∠FQA=90°，BP=x．
∴BE=x，CE=1-x，CF=-x，AF=1-（-x）=+x．
∴AQ=AF=（+x），
∴y=x+．

（2）由方程组
得x=．
∴当点P和点Q重合时，x=，
∴EF=CF=（-x）=．

（3）设线段EP、FQ的延长线相交于点M，
∵EF⊥AC，
∴∠3+∠QFE=90°，
∵FQ⊥AB，
∴∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠QFE=60°，
∵∠1+∠C=90°，
∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C=60°，
∴△MEF是等边三角形，
且当点P和点A重合时，EF最短为．
∴≤m＜．
分析：（1）由已知等边△ABC中，可得每个角都是60°，由作PE⊥BC，垂足为E；作EF⊥AC，垂足为F；作FQ⊥AB，垂足为Q，得三个直角三角形且都有30°的角，据此用x可表示出BE，CE，CF，相继表示出AF，AQ，求出y与x之间的函数关系式．
（2）由已知可列出方程组结合已知求出EF的长．
（3）当线段PE、FQ相交时，根据已知得到它们与线段EF围成的三角形三个角都是60°．
点评：此题考查的是等边三角形判定和性质以及一次函数问题，解题的关键是由已知等边三角形和已知作的垂线得30°角的直角三角形求解．