Question

随着“六一”临近，儿童礼品开始热销，某厂每月固定生产甲、乙两种礼品共100万件，甲礼品每件成本15元，乙礼品每件成本12元，现甲礼品每件售价22元，乙礼品每件售价18元，且都能全部售出．
（1）若某月销售收入2000万元，则该月甲、乙礼品的产量分别是多少？
（2）如果每月投入的总成本不超过1380万元，应怎样安排甲、乙礼品的产量，可使所获得的利润最大？
（3）该厂在销售中发现：甲礼品售价每提高1元，销量会减少4万件，乙礼品售价不变，不管多少产量都能卖出．在（2）的条件下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲礼品的售价，并重新调整甲、乙礼品的生产数量，问：提高甲礼品的售价多少元时可获得最大利润，最大利润为多少万元？

Answer 1

解：（1）设生产甲礼品x万件，乙礼品（100-x）万件，
由题意得：22x+18（100-x）=2000，
解得：x=50，100-x=50，
答：甲、乙礼品的产量分别是50万件，50万件．

（2）设生产甲礼品x万件，乙礼品（100-x）万件，所获得的利润为y万元，
由题意得：15x+12（100-x）≤1380，
∴x≤60，
利润y=（22-15）x+（18-12）（100-x）=x+600，
∵y随x增大而增大，
∴当x=60万件时，y有最大值660万元．
这时应生产甲礼品60万件，乙礼品40万件．

（3）设提高甲礼品售价a元，
由题意得，y=（7+a）（60-4a）+6（40+4a）=-4a²+56a+660=-4（a-7）²+856，
∵-4＜0，
∴开口向下，y有最大值856，
故当a=7时，y有最大值856万元，
答：提高甲礼品的售价7元时可获得最大利润，最大利润为856万元．
分析：（1）设生产甲礼品x万件，乙礼品（100-x）万件，根据收入=售价×产量列出方程求x的值即可；
（2）设生产甲礼品x万件，乙礼品（100-x）万件，所获得的利润为y万元，根据成本不超过1380万元求出x的取值范围，然后根据利润=（售价-成本）×销量，列出函数关系式，求y的最大值；
（3）设提高甲礼品售价a元，根据题意列出函数关系式，利用配方法求最大值即可．
点评：本题考查了二次函数和一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握求二次函数及一次函数最大值的方法．