Question

（2012•东莞模拟）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为i²=-1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：
（1）（5+i）（3-4i）=5×3+5×（-4i）+3i-4i²=15-20i+3i-4×（-1）=19-17i
（2）（5+i）（5-i）=5²-i²=25-（-1）=26
解答下面问题：
（1）化简：i³=

-i

，i⁴=

1

；
（2）计算：（3+i）²；
（3）试一试：将

2+i

2-i

化简成a+bi的形式．

Answer 1

分析：（1）根据i²=-1把i³化为i²•i，把i⁴化为i²•i²进行计算即可；
（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据平方差公式把原式化为

(2+i)2

(2-i)(2+i)

的形式进行计算即可．

解答：解：（1）∵i²=-1，
∴i³=i²•i=-i；i⁴=i²•i²=（-1）×（-1）=1；
故答案为：-i，1；

（2）原式=（3+i）²
=9+i²+6i
=9-1+6i
=8+6i；

（3）原式=

(2+i)2

(2-i)(2+i)

=

4+i2+4i

4-i2

=

4-1+4i

4+1

=

3+4i

5

．

点评：本题考查的是实数的运算，在解答此题时要注意平方差公式及完全平方公式的灵活运用．