Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴是x=1，且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，求t的取值范围或t的值；
（3）抛物线上是否存在点P，使∠BCP=∠BAC-∠ACO？若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据OB=OC，可得到B点的坐标，将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）把函数化为顶点式y=a（x-h）²+k的形式，向上平移使抛物线与x轴只有一个交点，即把解析式中的k变成0即可．
（3）取AC的中点M，过M作MN⊥AC交OC于N，连接AN则AN=CN，∠ACO=∠CAN，通过△MCN∽△OCA，求得CN的值，进而求得NO的值，从而得出tan∠NAO=

NO

AO

=

4

3

；当P在BC的上方时，设为P₁，过B作BD⊥BC交直线CP₁于D，过D作DE⊥x轴于E，通过证明△BDE∽△CBO，进而求得tan∠BCP₁=tan∠NAO=

4

3

，从而确定D点的坐标，把D点代入直线CP₁的解析式为y=k₁x+3，求得P₁点的坐标；当点P在BC下方时，设为P₂（m，n），则∠BCP₂=∠BCP₁，延长DB交直线CP₂于E，则点B是DE的中点，求得E点坐标，代入直线CP₂的解析式为y=k₂x+3，即可求得P₂的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与y轴交于点C
∴C（0，3），
∴OC=3
∵OB=OC，
∴OB=3
∵抛物线的对称轴是x=1，
∴B（3，0），A（-1，0）
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

   
 解得

a=-1 b=2

∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）由题意，抛物线只能沿y轴向下平移
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴设平移后的抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4-t（t＞0）
当原点O落在平移后的抛物线上时，把（0，0）代入得：
0=-（0-1）²+4-t，
解得t=3；
当平移后的抛物线的顶点落在x轴上时，x=1，y=0
即0=-（1-1）²+4-t，
解得t=4，
∵平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点
∴0＜t＜3或t=4                          

（3）取AC的中点M，过M作MN⊥AC交OC于N，连接AN
则AN=CN，
∴∠ACO=∠CAN
∵∠BCP=∠BAC-∠ACO，
∴∠BCP=∠BAC-∠CAN=∠NAO
∵∠ACO=∠NCM，∠AOC=∠CMN=90°，
∴△MCN∽△OCA，
∴

CM

CN

=

CO

CA

∴CN=

CM•CA

CO

=

CA2

2CO

=

12+32

2×3

=

5

3

∴NO=CO-CN=3-

5

3

=

4

3

，
∴tan∠NAO=

NO

AO

=

4

3

；
当点P在BC上方时，设为P₁，过B作BD⊥BC交直线CP₁于D，过D作DE⊥x轴于E
∵∠OCB=∠DBE，∠BOC=∠BED=90°，
∴△BDE∽△CBO，
∴

BE

CO

=

DE

BO

=

BD

BC

=tan∠BCP₁=tan∠NAO=

4

3

∴BE=

4

3

CO=4，DE=

4

3

BO=4，OE=3+4=7
∴D（7，4）
设直线CP₁的解析式为y=k₁x+3，把（7，4）代入
4=7k₁+3，
∴k₁=

1

7

，
∴y=

1

7

x+3
令-x²+2x+3=

1

7

x+3，
解得x₁=0（舍去），x₂=

13

7

∴P₁（

13

7

，

160

49

），
当点P在BC下方时，设为P₂（m，n），
则∠BCP₂=∠BCP₁
延长DB交直线CP₂于E，则点B是DE的中点
∴

m+7 2 =3 n+4 2 =0

    
解得

m=-1 b=-4

∴E（-1，-4）
设直线CP₂的解析式为y=k₂x+3，把（-1，-4）代入-4=-k₂+3，
∴k₂=7，
∴y=7x+3
令-x²+2x+3=7x+3，
解得x₁=0（舍去），x₂=-5
∴P₂（-5，-32）
综上所述，抛物线上存在点P，使∠BCP=∠BAC-∠ACO，
P点坐标为（

13

7

，

160

49

）或（-5，-32）．

点评：此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定以及相似三角形的判定和性质，对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法．