Question

解答题：如图，⊙P与x轴相切于坐标原点O，⊙P与y轴交于点A（0，2），点B的坐标为（-2

2

，0），连接BP交⊙P于点C
（1）求线段BC的长；
（2）求直线AC的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）由圆P与x轴切于坐标原点，且与y轴交于A点，根据切线的性质得到AO垂直于x轴，且AO为直径，得到AO的长，由AO的长求出半径OP的长，再由PC为圆的半径，得出PC的长，同时由B的坐标得出OB的长，在三角形BOP中，由OP及OB的长，利用勾股定理求出BP的长，由BP-CP即可求出BC的长；
（2）过C作CH垂直于x轴，由AO也垂直于x轴，得到CH与AO平行，由平行得比例，列出比例式，将BO，PO，BC，BP的长代入，求出CH及BH的长，由OB-BH求出OH的长，根据CH及OH的长，得出C的坐标，由直线AC与y轴的交点A的坐标设出直线AC的方程为y=kx+2，k不为0，将C的坐标代入确定出k的值，即可确定出直线AC的解析式．

解答：解：（1）∵⊙P与x轴切于坐标原点O，且交y轴于点A（0，2），
∴AO⊥x轴于O，OA是直径且OA=2，
∴OP=1，
又∵BP交⊙P于C，∴CP=1，
∵B（-2

2

，0），∴OB=2

2

，
Rt△BOP中，根据勾股定理得：BP=

(2 2 )2+12

=3，
则BC=BP-CP=2；   
 
（2）过C作CH⊥BO于H，

∵AO⊥x轴，
∴CH∥PO，
∴

CH

PO

=

BC

BP

=

BH

BO

，
又∵PO=1，BC=2，BP=3，OB=2

2

，
∴CH=

PO•BC

BP

=

2

3

，BH=

CH•BO

PO

=

4

3

2

，
∴HO=OB-BH=

2

3

2

，
∴C（-

2

3

2

，

2

3

），
根据直线AC交y轴于点A（0，2），设直线AC的解析式为y=kx+2（k≠0），
将C的坐标代入得：-

2

3

2

k+2=

2

3

，
∴k=

2

，
∴直线AC的解析式为y=

2

x+2．

点评：此题属于一次函数的综合题，涉及的知识有：勾股定理，平行线的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，以及切线的性质，利用了数形结合及转化的数学思想，要求学生掌握知识要全面．