Question

（2012•镇江）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．

（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x．
①若BM=

3

8

，求x的值；
②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）．当x为何值时，∠BAD=15°？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，从而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出结论．
（2）①由已知条件可以得出△BPM∽△CAP，可以得出

BM

CP

=

BP

CA

，由已知条件可以建立方程求出BP的值．
②四边形AMPN的面积就是四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积，由△ADM≌△APN，S_△ADM=S_△APN，可以得出重合部分的面积就是△ADP的面积．
③连接PG，若∠DAB=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知条件可以得出四边形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，设BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG=

3

t，从而求得t的值，即可以求出结论．以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形，由已知条件可知四边形ADPE为菱形，可以得到∠ADO=∠AEH=30°，根据∠DAB=15°，可以求出∠AGO=45°，∠HAO=15°，∠EAH=45°．设AO=a，则AD=AE=2a，OD=

3

a，得到DG=（

3

-1）a，由∠DAB=15°，可以求出∠DHA=∠DAH=75°，求得GH=（3-

3

）a，HE=2（

3

-1）a，最后由勾股定理的逆定理就可以得出结论．

解答：解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，
∵

∠DAM=∠PAN AD=AP ∠ADM=∠APN

，

∴△ADM≌△APN，
∴AM=AN．

（2）①∵△ABC、△ADP是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180-∠ADM-∠DMA=180-∠B-∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，
∴

BM

CP

=

BP

CA

，
∵BM=

3

8

，AC=2，CP=2-x，
∴4x²-8x+3=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=

3

2

．
②∵四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积．
∵△ADM≌△APN，
∴S_△ADM=S_△APN，
∴S_{四边形AMPN}=S_△APM+S_△APN=S_△AMP+S_△ADM=S_△ADP．
过点P作PS⊥AB，垂足为S，
在Rt△BPS中，∵∠B=60°，BP=x，
PS=BPsin60°=

3

2

x，BS=BPcos60°=

1

2

x，
∵AB=2，
∴AS=AB-BS=2-

1

2

x，
∴AP²=AS²+PS²=(

3

2

x)2+(2-

1

2

x)2=x²-2x+4．
取AP的中点T，连接DT，在等边三角形ADP中，DT⊥AP，
∴S△ADP=

1

2

AP．DT=

1

2

AP×

3

2

AP=

3

4

AP2，
∴S=S四边形AMPN=S△ADP=

3

4

AP2=

3

4

(x-1)2+

3 3

4

（0＜x＜2），
∴当x=1时，S的最小值是

3 3

4

．
③连接PG，若∠DAB=15°，
∵∠DAP=60°，
∴∠PAG=45°．
∵△APD和△APE是等边三角形，
∴四边形ADPE是菱形，
∴DO垂直平分AP，
∴GP=AG，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴∠PGA=90°．
设BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°，
∴BP=2t，PG=

3

t，
∴AG=PG=

3

t，
∴

3

t+t=2，
解得t=

3

-1，
∴BP=2t=2

3

-2．
∴当BP=2

3

-2时，∠BAD=15°．
猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形．
设DE交AP于点O，
∵△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA，
∴四边形ADPE为菱形，
∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30°．
∵∠DAB=15°，
∴∠GAO=45°，
∴∠AGO=45°，∠HAO=15°，
∴∠EAH=45°．
设AO=a，则AD=AE=2a，GO=AO=a，OD=

3

a．
∴DG=DO-GO=（

3

-1）a．
∵∠DAB=15°，∠BAC=60°，∠ADO=30°，
∴∠DHA=∠DAH=75°．
∴DH=AD=2a，
∴GH=DH-DG=2a-（

3

-1）a=（3-

3

）a．
HE=DE-DH=2DO-DH=2

3

a-2a．
∵DG²+GH²=[(

3

-1)a]2+[(3-

3

)a]2=(16-8

3

)a2，
HE²=(2

3

a-2a)2=(16-8

3

)a2．
∴DG²+GH²=HE²，
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质的运用，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用．本题的综合性较强在解答时要注意解答问题的突破口，这也是解答问题的关键．