Question

如图，以AB为直径作半圆与直角梯形ABED另一腰DE相切于C点，再分别以AC、BC、
AD、CD、CE、BE为直径作半圆．若AC=3，BC=4，则图中阴影部分的面积和为________．

Answer 1

6
分析：先取AB的中点O，连接OC，由勾股定理求出AB的长，再根据切线的性质判断出OC是梯形ABED的中位线，求出OC的长，根据直角梯形的性质及勾股定理求出CE的长，进而求出梯形的高，再根据勾股定理及圆的面积公式得出S_阴影=S_梯形ABED-S_△ABC，再把相应的数值代入进行计算即可．
解答：解：取AB的中点O，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB===5，
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵梯形ABED是直角梯形，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴OC是梯形ABED的中位线，
∴CD=CE，=OC，
∴OA=OC==，
∵梯形ABED是直角梯形，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴AC²-AD²=BC²-BE²，即3²-（2OC-BE）²=4²-BE²，即3²-（5-BE）²=4²-BE²，解得BE=3.2，
∴CD=CE===，
∴DE=2CE=2×=，
∵△ACD是直角三角形，
∴AC2=AD²+CD²，
∴（）²=（）²+（）²，
即以AC为半径的圆的半圆的面积等于以CD为半径的半圆与以AD为半径的半圆面积的和，
∴以CD为半径的半圆阴影部分与以AD为半径的半圆阴影部分面积的和等于Rt△ACD的面积，
同理可得，以BE为半径的半圆阴影部分与以CE为半径的半圆阴影部分面积的和等于Rt△CBE的面积，
∴S_阴影=S_梯形ABED-S_△ABC=-AC×BC=OC×DE-AC×BC=2.5×-×3×4=6．
故答案为：6．
点评：本题考查的是切线的性质、勾股定理及直角梯形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出梯形的中位线，再根据中位线的性质进行解答．