Question

先阅读下列内容，然后解答问题
因为

1

1×2

=1-

1

2

1

2×3

=

1

2

-

1

3

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…

1

9×10

=

1

9

-

1

10

所以：

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

…+

1

9

-

1

10

=

9

10

请计算：
①

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2006×2007

；
②

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2005×2007

．

Answer 1

分析：（1）分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，第n项为

1

n×(n+1)

= 

1

n

- 

1

n+1

，所以原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+ 

1

3

-

1

4

+…+

1

2006

- 

1

2007

=1-

1

2007

=

2006

2007

；
（2）分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项为

1

n×(2n-1)

= 

1

2

( 

1

n

- 

1

2n-1

)，所以原式=

1

2

（1-

1

3

+ 

1

3

- 

1

5

+ 

1

5

-…+ 

1

2005

 - 

1

2007

）=

1

2

（1-

1

2007

）=

1003

2007

．

解答：解：①

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2006×2007

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+ 

1

3

-

1

4

+…+

1

2006

- 

1

2007

=1-

1

2007

=

2006

2007

；

②

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2005×2007

=

1

2

（1-

1

3

+ 

1

3

- 

1

5

+ 

1

5

-…+ 

1

2005

 - 

1

2007

）
=

1

2

（1-

1

2007

）
=

1003

2007

．

点评：解决这类题目找出变化规律，消去中间项，只剩首末两项，使运算变得简单．