Question

（1）当x在何范围时，|x-1|-|x-2|有最大值，并求出最大值．
（2）当x在何范围时，|x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|有最大值，并求出它的最大值．
（3）代数式|x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|+…+|x-99|-|x-100|最大值是______（直接写出结果）

Answer 1

解：（1）∵|x-1|-|x-2|表示x到1的距离与x到2的距离的差，
∴x≥2时有最大值2-1=1；

（2）∵|x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，
∴x≥4时有最大值1+1=2；

（3）由上可知：x≥100时|x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|+…+|x-99|-|x-100|有最大值1×50=50．
故答案为50．
分析：（1）根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，|x-1|-|x-2|表示x到1的距离与x到2的距离的差，可知：x≥2时有最大值2-1=1；
（2）根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，|x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，可知：x≥4时有最大值1+1=2；
（3）由上可知：x≥100时有最大值1×50=50．
点评：本题主要考查了绝对值的意义及性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．本题还可以对x的取值进行分类讨论求解．