Question

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．
（1）求线段CD的长；
（2）若E为边OA上的一个动点，求△CDE周长的最小值；
（3）若E、F为线段边OA上的两个动点（点E在点F左边），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

Answer 1

解：（1）∵矩形OACB，OA=3，OB=4，D为边OB的中点，
∴BC=OA=3，BD=OB=2，
∴CD=；

（2）如图，作点D关于x轴的对称点D′（0，-2），
连接CD′与x轴交于点E，连接DE，
∴DE+CE=CD′（最小值），
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，
∴BC=3，D′O=DO=2，D′B=6，
∴D′C=，
∴△CDE周长的最小值为：CD+DE+CE=CD+D′C=；

（3）如图，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG=2，
连接D′G与x轴交于点E，在EA上截EF=2，
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，
又DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小，
∵OE∥BC，
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，有，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，0）．
分析：（1）结合已知条件，根据勾股定理求出即可求出CD的长度；
（2）根据两点之间线段最短的性质，CD的长度一定，求的D点关于x轴的对称点D′，CD′即为C点到D点的最小值，求△CDE周长的最小值为CD′+CD；
（3）作点D关于x轴的对称点D′，连接D′G与x轴交于点E，在EA上截EF=2，在CB边上截取CG=2，根据轴对称-最短线路的有关知识，结合图形和已知条件推出Rt△D′OE∽Rt△D′BG，根据相似三角形边得比例关系，很容易结合求的OE的长度，继而求的OF的长度，很容易得出E点，F点的坐标
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称-最短线路的有关知识．本题关键是通过勾股定理求出各边的长度，根据轴对称-最短线路的有关知识找到E点、D′点的位置．