Question

5．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
（2）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把A点和C点坐标代入y=x²+bx+c得到关于b、c的方程，然后解方程求出b、c即可；
（2）先利用二次函数的性质求出D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），再利用抛物线与x轴的交点问题求出B（2，0），则可根据待定系数法求出直线BC的解析式为y=x-2，根据三角形面积公式可判断PD∥BC，于是可设直线PD的解析式为y=x+p，然后把D点坐标代入求出p得到直线PD的解析式为y=x-$\frac{11}{4}$，最后把P（t，0）代入可求出t的值．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=x²-x-2；
抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$；
（2）y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
则D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
当y=0时，x²-x-2=0，解得x₁=2，x₂=-1，则B（2，0），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（2，0），C（0，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=0}\\{n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-2，
∵△BDP和△CDP的面积相等，
∴PD∥BC，
设直线PD的解析式为y=x+p，
把D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）代入得$\frac{1}{2}$+p=-$\frac{9}{4}$，解得p=-$\frac{11}{4}$，
∴直线PD的解析式为y=x-$\frac{11}{4}$，
把P（t，0）代入得t-$\frac{11}{4}$=0，解得t=$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），通过解方程ax²+bx+c=0可得到抛物线与x轴的交点的横坐标．