Question

已知：如图，点O₂是⊙O₁上一点，⊙O₂与⊙O₁相交于A、D两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C两点，延长DO₂交⊙O₂于E，交BA延长线于F，BO₂交AD于G，连接AD．
（1）求证：∠BGD=∠C；
（2）若∠DO₂C=45°，求证：AD=AF；
（3）若BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的两个实数根，求BD、BF的长．

Answer 1

分析：（1）运用直径所对圆周角=90°，等角的余角相等，对顶角相等证明；
（2）只需证明∠F=∠ADF即可．由A，B，D，O₂四点共圆知∠ABD=∠DO₂C=45°，∠BAD=45°，△DCO₂中，O₂C=O₂D，顶角已知，求出底角∠O₂DC的度数，∠ADF=90°-∠O₂DC，∠F=∠O₂DC-∠ABD，可知∠F=∠ABD；
（3）由已知条件，可以知道，首先应求出BD与CD的关系，这样BD与BF都用CD表示，再由根与系数的关系，求出m的值，回代方程，求出BD，BF的值，根据根的判别式进行检验．

解答：（1）证明：∵BC⊥AD于D，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴AB、AC分别为⊙O₁、⊙O₂的直径，
∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，
∴∠BGD=∠C；

（2）证明：∵∠DO₂C=45°，
∴∠ABD=45°，
∵O₂D=O₂C，
∴∠C=∠O₂DC=

1

2

（180-∠DO₂C）=67.5°，
∴∠4=22.5°，
∵∠O₂DC=∠ABD+∠F，
∴∠F=∠4=22.5°，
∴AD=AF；

（3）解：∵BF=6CD，
∴设CD=k，则BF=6k，
连接AE，则AE⊥AD，
∴AE∥BC，
∴△FAE∽△FBD，
∴

AE

BD

=

AF

BF

，
∴AE•BF=BD•AF，
又∵在△AO₂E和△DO₂C中，AO=DO₂，∠AOE=∠DOC，O₂E=O₂C，
∴△AO₂E≌△DO₂C，
∴AE=CD=k，
∴6k²=BD•AF=（BC-CD）（BF-AB），
∵∠BO₂A=90°，O₂A=O₂C，
∴BC=AB，
∴6k²=（BC-k）（6k-BC），
∴BC²-7kBC+12k²=0，
解得：BC=3k，或BC=4k，
当BC=3k时，BD=2k，
∵BD、BF的长是关于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的两个实数根，
∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2，BD•BF=12k²=4m²+8，
∴k=

m

2

+

1

4

，
把BD=2k代入方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0可得，4m²-12m+29=0，
∵△=（-12）²-4×4×29=-320＜0，此方程无实数根，
∴BC=3k舍去，
当BC=4k时，BD=3k，
∴3k+6k=4m+218k²=4m²+8，
整理，得：m²-8m+16=0，解得：m₁=m₂=4，
∴原方程可化为x²-18x+72=0，
解得：x₁=6，x₂=12，
∴BD=6，BF=12．

点评：（1）在圆中证明两个角相等时，通常将它们等量转化；
（2）证明两边相等时，如果两边在同一个三角形中，则证明它们所对的角相等；
（3）本问中有四个未知量，BF，CD，BD，m，而只有三个方程BF=6CD，根与系数的关系可以列出两个，所以要根据条件先求出BD与CD的关系，这样三个未知数，三个方程可以求出结果．