Question

18．如图①，把△ABC沿着DE折叠，顶点A恰好落在BC边的点F处，且DE∥BC，连接EF，过点D作DG∥EF交BC于点G．
（1）求证：EF=EC；
（2）如图②，若AB=10，BC=12，AC=8，点P在AD上，且AP=3.2．
①求BG的长；
②求证：∠AEP=∠B．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得到一对角相等，再由DE与BC平行，得到一对同位角相等，一对内错角相等，等量代换得到∠EFC=∠C，利用等角对等边即可得证；
（2）①连接AF，交DE于点O，如图②所示，由折叠的性质得到AF⊥DE，AO=OF，由DE与BC平行，得到AF与BC垂直，三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB，AC，BC的长求出AD，AE，DE的长，再由DG与EF平行，得到四边形DEFG为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，得到GF=DE=6，设BG=x，表示出CF与BF，在直角三角形ABF与直角三角形ACF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为BG的长；
②由DE平行于BC，得到一对同位角相等，根据AP的长，求出DP，BD，DE，BG的长，得到两边对应成比例且夹角相等，进而确定出三角形DEP与三角形BDG相似，利用相似三角形对应角相等得到∠DEP=∠BDG，利用两直线平行同位角、内错角相等得到∠DGC=∠EFC=∠AED，利用外角相等及等式的性质变形即可得证．

解答 （1）解：由折叠性质可得：∠AED=∠DEF，
∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠EFC，∠AED=∠C，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC；
（2）解：①连接AF，交DE于点O，如图②所示，

由折叠得到AF⊥DE，AO=OF，
∵DE∥BC，
∴AF⊥BC，△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AO}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=10，AC=8，BC=12，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5，AE=$\frac{1}{2}$AC=4，DE=$\frac{1}{2}$BC=6，
∵DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形，GF=DE=6，
设BG=x，则CF=BC-GF-BG=12-6-x=6-x，BF=BG+GF=6+x，
在Rt△ABF和Rt△ACF中，由勾股定理得，AF²=AB²-BF²，AF²=AC²-CF²，
∴AB²-BF²=AC²-CF²，即10²-（6+x）²=8²-（6-x）²，
解得：x=1.5，
∴BG的长为1.5；
②证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
在△DEP和△BDG中，DP=1.8，DE=6，BG=1.5，BD=5，
又∵AP=3.2，
∴DP=AD-AP=1.8，
∵$\frac{1.8}{1.5}$=$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{DP}{BG}$=$\frac{DE}{BD}$，
∴△DEP∽△BDG（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴∠DEP=∠BDG（相似三角形对应角相等），
∵DG∥EF，
∴∠DGC=∠EFC=∠AED，
∴∠B+∠BDG=∠AEP+∠DEP，
∵∠DEP=∠BDG，
∴∠AEP=∠B．

点评 此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．