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    小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形ABCD ，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG = FH” 经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N ；（乙）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N ； 小杰和他的同学顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索。 ……
    （1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图8）；
    （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB =2，BC =3（如图9），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
    （3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图10），试求EG的长度。
    （1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作 AN∥EG交CD的延长线于点N 
                      
                       ∴AM=HF AN=EG
                       ∵正方形ABCD          ∴AB=AD ∠BAD=∠ADN=90°
                        ∵EG⊥FH 
                        ∴∠NAM=90° ∴∠BAM=∠DAN 
                       在△ABM和△ADN中 ∠BAM=∠DAN    AB=AD   ∠ABM=∠ADN
                     ∴△ABM≌△ADN         ∴ AM=AN  即EG=FH
     （2） 结论：EG：FH=3：2
               证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作 AN∥EG交CD的延长线于点N 
                          
                          ∴AM=HF      AN=EG
                           ∵长方形ABCD          ∴AB=AD ∠BAD=∠ADN=90°
                           ∵EG⊥FH                  ∴∠NAM=90° ∴∠BAM=∠DAN      
                            ∴△ABM∽△ADN            ∴
                            ∵AB=2 BC=AD=3           ∴
     (3) 解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，
                  ∵AB=1 AM=FH=
                      ∴在Rt△ABM中，
                     将△AND绕点A旋转到△APB
                       ∵ EF与FH的夹角为45° ∴ ∠MAN=45°
                        ∴∠DAN+∠MAB=45° 即∠PAM=∠MAN=45°     从而 △APM ≌ △ANM ∴PM=NM
                       设DN = x，则，
                       在Rt△CMN中，
                      
                      解得                 ∴
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    （乙）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N；
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    （3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为
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    （如图3），试求EG的长度．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

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