Question

10．如图，正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂，如此继续下去，则正六边形A₄B₄C₄D₄E₄F₄的面积是$\frac{\sqrt{3}}{18}$．

Answer 1

分析 由正六边形的性质得：∠A₁B₁B₂=90°，∠B₁A₁B₂=30°，A₁A₂=A₂B₂，由直角三角形的性质得出B₁B₂=$\frac{1}{\sqrt{3}}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，A₂B₂=$\frac{1}{2}$A₁B₂=B₁B₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由相似多边形的性质得出正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的面积：正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面积=$\frac{1}{3}$，求出正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面积=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，得出正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的面积，同理得出正六边形A₄B₄C₄D₄E₄F₄的面积．

解答 解：由正六边形的性质得：∠A₁B₁B₂=90°，∠B₁A₁B₂=30°，A₁A₂=A₂B₂，
∴B₁B₂=$\frac{1}{\sqrt{3}}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴A₂B₂=$\frac{1}{2}$A₁B₂=B₁B₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁∽正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂，
∴正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的面积：正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面积=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$，
∵正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面积=6×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的面积=$\frac{1}{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理：正六边形A₄B₄C₄D₄E₄F₄的面积=（$\frac{1}{3}$）³×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{18}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{18}$．

点评 本题考查了正六边形的性质、相似多边形的性质、正六边形面积的计算等知识；熟练掌握正六边形的性质，由相似多边形的性质得出规律是关键．