Question

（2012•荆州模拟）已知：关于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k为整数）的根为整数，双曲线y=

k+1

x

（x＞0）过梯形OABC的顶点A和腰BC中点M，∠BCO=90°．求四边形OABC的面积．

Answer 1

分析：分类讨论：当k=0，方程变形为：x-1=0，解得x=1；当k≠0，先运用因式分解法解一元二次方程得到x₁=

k-1

k

，x₂=1，由于关于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k为整数）的根为整数，则由x₁=

k-1

k

=1-

1

k

得到k=1，得到双曲线的解析式为y=

2

x

，设M点坐标为（a，b），易得C点坐标为（a，0），B点坐标为（a，2b），则A点的纵坐标为2b，当点A在双曲线y=

2

x

上，所以A点坐标为（

1

b

，2b），然后根据梯形面积公式进行计算，四边形OABC的面积=

1

2

（AB+OC）•BC=

1

2

（a-

1

b

+a）×2b=2ab-1，ab=2，可计算出面积；当点A在双曲线y=

1

x

上，则A点坐标为（

1

2b

，2b），四边形OABC的面积=

1

2

（AB+OC）•BC
=2ab-

1

2

，然后把ab=1代入计算．

解答：解：当k=0，方程变形为：x-1=0，解得x=1；
当k≠0，
∵[kx-（k-1）]（x-1）=0，
∴x₁=

k-1

k

，x₂=1，
∵关于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k为整数）的根为整数，
而x₁=

k-1

k

=1-

1

k

，
∴k=1，
∴双曲线的解析式为y=

1

x

或y=

2

x

，
设M点坐标为（a，b），
∵四边形OACB为梯形，∠BCO=90°，且M为BC的中点，
∴C点坐标为（a，0），B点坐标为（a，2b），
∴A点的纵坐标为2b，
当点A在双曲线y=

2

x

上，
∴当y=2b时，x=

1

b

，
∴A点坐标为（

1

b

，2b），
∴四边形OACB的面积=

1

2

（AB+OC）•BC
=

1

2

（a-

1

b

+a）×2b
=2ab-1
当k=1，ab=2，四边形OACB的面积=4-1=3；
当点A在双曲线y=

1

x

上，
A点坐标为（

1

2b

，2b），
∴四边形OACB的面积=

1

2

（AB+OC）•BC
=

1

2

（a-

1

2b

+a）×2b
=2ab-

1

2

当k=0，ab=1，四边形OACB的面积=2-

1

2

=

3

2

；
∴四边形OABC的面积为3或

3

2

．

点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同；运用梯形的面积确定线段平行关系和计算面积；运用因式分解法解一元二次方程；分类讨论的思想方法在解题常用到．