Question

如图，等腰Rt△ABC中，AC=BC，以AC为直径作⊙O交AB于D点，E为CD上的一个动点，过E作AE的垂线交BC的延长线于点F，连接AE、BE、EF，下列结论：
①AE=BE；②BE=EF；③∠EAC=∠EFC；④∠AED=AFB．
其中正确的个数是

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：由AC是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得CD⊥AB，又由等腰Rt△ABC中，AC=BC，根据三线合一的性质，可得CD是线段AB的垂直平分线，即可判定①正确；又由等角的余角相等，证得③∠EAC=∠EFC正确，则可得∠EBC=∠EFC，判定②正确，继而可得△AEF是等腰直角三角形，则可判定④正确．
解答：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即CD⊥AB，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
即CD是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE；故①正确；
∴∠ABE=∠BAE，
∵∠AME=∠FMC，∠AEF=∠ACF=90°，
∴∠EAC=∠EFC，故③正确；
∵∠CAE+∠BAE=∠EBC+∠ABE，
∴∠EAC=∠EBC，
∴∠EBC=∠EFC，
∴BE=EF；故②正确；
∴AE=EF，
∴∠EAF=45°，
∵∠DAC=45°，
∴∠DAE=∠CAF，
∵∠ADC=∠ACF=90°，
∴∠AED=∠AFB．
故④正确．
故选D．
点评：此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．