Question

9．如图所示，已知BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．另有三个条件：①AB∥CD；②∠1+∠2=90°；③∠ABE+∠DCE=∠BEC．以①、②、③其中一个为条件，另一个为结论组成命题，在组成的所有命题中，是真命题的个数有（　　）

• A． 3个
• B． 4个
• C． 5个
• D． 6个

Answer 1

分析 写出各命题，再判断命题的真假即可．

解答 解：命题1，若①，则②；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BCD）=90°，故此命题是真命题；
命题2，若①，则③；
∵AB∥CD，
∴∠1+∠ABE+∠2+∠DCE=180°．
∵∠1+∠2+∠BEC=180°，
∴∠ABE+∠DCE=∠BEC，故此命题是真命题；
命题3，若②，则①；
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABC+∠BCD=2（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD，故此命题是真命题；
命题4，若②，则③；
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABC+∠BCD=2（∠1+∠2）=180°，
∴∠ABE+∠DCE=90°．
∵∠1+∠2+∠BEC=180°，
∴∠ABE+∠DCE=∠BEC，故此命题是真命题；
命题5，若③，则②；
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∵∠ABE+∠DCE=∠BEC，∠1+∠2+∠BEC=180°，
∴∠1+∠2=90°，故此命题是真命题；
命题6，若③，则①．
∵∠ABE+∠DCE=∠BEC，∠BEC+∠1+∠2=180°，
∴∠ABE+∠DCE+∠1+∠2=180°，即∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，故此命题是真命题．
故选D．

点评 本题考查的是命题与定理，涉及到平行线的判定与性质、角平分线的性质及三角形内角和定理等知识，难度适中．