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刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm;图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4cm.图③是刘卫同学所做的一个实验:他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).
(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C两点间的距离逐渐______.(填“不变”、“变大”或“变小”)
(2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题:
问题①:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行?
问题②:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?
问题③:在△DEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出AD的长度;如果不存在,请说明理由.
请你分别完成上述三个问题的解答过程.
(1)变小;

(2)问题①:∵∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm
∴AC=12cm
∵∠FDE=90°,∠DEF=45°,DE=4cm
∴DF=4cm
连接FC,设FCAB
∴∠FCD=∠A=30°
∴在Rt△FDC中,DC=4
3
cm
∴AD=AC-DC=(12-4
3
)cm
∴AD=(12-4
3
)cm时,FCAB;
问题②:设AD=x,在Rt△FDC中,FC2=DC2+FD2=(12-x)2+16
∵AC=12cm,DE=4cm,
∴AD≤8cm,
(I)当FC为斜边时,
由AD2+BC2=FC2得,x2+62=(12-x)2+16,x=
31
6

(II)当AD为斜边时,
由FC2+BC2=AD2得,(12-x)2+16+62=x2,x=
49
6
>8(不合题意舍去);
(III)当BC为斜边时,
由AD2+FC2=BC2得,x2+(12-x)2+16=36,x2-12x+62=0,
方程无解,
∴由(I)、(II)、(III)得,当x=
31
6
cm时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形;
另BC不能为斜边,
∵FC>CD,∴FC+AD>12
∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6,
∴BC不能为斜边,
∴由(I)、(II)、(III)得,当x=
31
6
cm时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形;
问题③:解法一:不存在这样的位置,使得∠FCD=15°
理由如下:
假设∠FCD=15°
∵∠EFC=30°
作∠EFC的平分线,交AC于点P
则∠EFP=∠CFP=15°,∠DFE+∠EFP=60°
∴PD=4
3
cm,PC=PF=2FD=8cm,
∴PC+PD=8+4
3
>12
∴不存在这样的位置,使得∠FCD=15°
解法二:不存在这样的位置,使得∠FCD=15°
假设∠FCE=15°AD=x
由∠FED=45°
得∠EFC=30°
作EH⊥FC,垂足为H.
∴HE=
1
2
EF=2
2
cm
CE=AC-AD-DE=(8-x)cm
且FC2=(12-x)2+16
∵∠FDC=∠EHC=90°
∠DCF为公共角
∴△CHE△CDF
EC
FC
=
HE
DF
又(
HE
DF
2=(
2
2
4
2=
1
2

∴(
EC
FC
2=
1
2
,即
(8-x)2
(12-x)2+16
=
1
2
整理后,得到方程x2-8x-32=0
∴x1=4-4
3
<0(不符合题意,舍去)
x2=4+4
3
>8(不符合题意,舍去)
∴不存在这样的位置,使得∠FCD=15°.
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A.
14
B.
15
C.3
2
D.2
3

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