Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=$\frac{3}{4}$．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点C的坐标以及tan∠OAC=$\frac{3}{4}$可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（-4＜x＜0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出△MCK≌△MEG（AAS），进而得出MG=CK．设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标．

解答 解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC=$\frac{3}{4}$，
∴OA=4，
∴A（-4，0）．
把A（-4，0）、C（0，3）代入y=ax²+2ax+c中，
得$\left\{\begin{array}{l}{16a-8a+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3．
设N（x，0）（-4＜x＜0），则H（x，$\frac{3}{4}$x+3），P（x，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），
∴PH=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3-（$\frac{3}{4}$x+3）=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{2}$x=-$\frac{3}{8}$（x+2）²+$\frac{3}{2}$，
∵-$\frac{3}{8}$＜0，
∴PH有最大值，
当x=-2时，PH取最大值，最大值为$\frac{3}{2}$．
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE=∠MKC=90°，
∴∠MEG+∠EMG=90°，
∵四边形CMEF是正方形，
∴EM=MC，∠MEC=90°，
∴∠EMG+∠CMK=90°，
∴∠MEG=∠CMK．
在△MCK和△MEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MEG=∠CMK}\\{∠MGE=∠CKM=90°}\\{EM=MC}\end{array}\right.$，
∴△MCK≌△MEG（AAS），
∴MG=CK．
由抛物线的对称轴为x=-1，设M（x，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），则G（-1，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），K（0，-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3），
∴MG=|x+1|，CK=|-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3-3|=|-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x|=|$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x|，
∴|x+1|=|$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x|，
∴$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x=±（x+1），
解得：x₁=-4，x₂=-$\frac{2}{3}$，x₃=-$\frac{4}{3}$，x₄=2，
代入抛物线解析式得：y₁=0，y₂=$\frac{10}{3}$，y₃=$\frac{10}{3}$，y₄=0，
∴点M的坐标是（-4，0），（-$\frac{2}{3}$，$\frac{10}{3}$），（-$\frac{4}{3}$，$\frac{10}{3}$）或（2，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）根据正方形的性质得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程求出点的横坐标是关键．