Question

6．在△ABC中，AB=10，BC=11，sinB=$\frac{3}{5}$，将点C绕点A顺时针旋转，使得点C落在边BC上C′处，则sin∠BAC′=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，C′E⊥AB于E，如图，利用旋转的性质得CA=C′A，则CD=C′D，在Rt△ABD中利用正弦的定义可计算出AD=6，利用勾股定理计算出BH=8，则CD=BC-BD=3，所以CD=C′D=3，BC′=5，接着在Rt△AC′D中利用勾股定理得AC′=3$\sqrt{5}$，然后在Rt△BC′E中利用正弦定义计算出C′E=3，最后在Rt△AEC′中根据正弦的定义求解．

解答 解：作AD⊥BC于D，C′E⊥AB于E，如图，
∵点C绕点A顺时针旋转，使得点C落在边BC上C′处，
∴CA=C′A，
而AD⊥CC′，
∴CD=C′D，
在Rt△ABD中，∵sin∠B=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AD=$\frac{3}{5}$×10=6，
∴BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8，
∴CD=BC-BD=11-8=3，
∴CD=C′D=3，BC′=5，
在Rt△AC′D中，AC′=$\sqrt{C′{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
在Rt△BC′E中，∵sinB=$\frac{C′E}{BC′}$=$\frac{3}{5}$，
∴C′E=$\frac{3}{5}$×5=3，
在Rt△AEC′中，sin∠EAC′=$\frac{C′E}{AC′}$=$\frac{3}{3\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即sin∠BAC′=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．