Question

两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放，其中D点在AB上，连接BE．
（1）则

BE

AD

=

 

，∠CBE=

 

度；
（2）当把△DEF绕点C旋转到如图2所示的位置时（D点在BC上），连接AD并延长交BE于点F，连接FC，则

BE

AD

=

 

，∠CFE=

 

度；
（3）把△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请求出∠CFE的度数

 

．

Answer 1

分析：（1）先证明∠ACD=∠BCE，再根据边角边定理证明△ACD≌△BCE，然后根据全等三角形对应边相等和对应角相等解答；
（2）根据（1）的思路证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等得BE=AD，对应角相等得∠DAC=∠DBF，又AC⊥CD，所以AF⊥BF，从而可以得到C、E、F、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠CFE=∠CDE=45°；
（3）同（2）的思路，证明C、F、D、E四点共圆，得出∠CFD=∠CED=45°，而∠DEF=90°，所以∠CFE的度数即可求出．

解答：解：（1）∵△ABC和△DCE是等腰三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，
因此

BE

AD

=1，∠CBE=45°；

（2）同（1）可得BE=AD，
∴

BE

AD

=1，
∠CBE=∠CAD；
又∵∠ACD=90°，∠ADC=∠BDF，
∴∠BFD=∠ACD=90°；
又∵∠DCE=90°，
∴C、E、F、D四点共圆，
∴∠CFE=∠CDE=45°；

（3）同（2）可得∠BFA=90°，
∴∠DFE=90°；
又∵∠DCE=90°，
∴C、F、D、E四点共圆，
∴∠CFD=∠CED=45°，
∴∠CFE=∠CFD+∠DFE
=45°+90°
=135°．

点评：本题综合考查了等边对等角的性质，三角形全等的判定和全等三角形的性质，四点共圆以及同弧所对的圆周角相等的性质，需要熟练掌握并灵活运用．