Question

5．如图，△ABD与△ACE均为等腰直角三角形且摆成如图所示的样子，若∠ABC=90°（图中所有的点、线都在同一平面内），DF=$\sqrt{2}$，EF=2$\sqrt{2}$，则线段BC的长为$\sqrt{7}$-1．

Answer 1

分析 作FG⊥AD于G．首先证明CF⊥AE，推出AF=CF=EF=2$\sqrt{2}$，AC=4，再求出AD，在Rt△ABC中可以求出BC．

解答 解：作FG⊥AD于G．
∵∠ABC=90°，∠ABD=45°，
∴∠FBC=45°，∵∠FAC=45°，
∴∠OAF=∠OBC=45°，∵∠AOF=∠BOC，
∴△AOF∽△BOC，
∴∠AFO=∠OCB，$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OF}{OC}$，
∴$\frac{OA}{OF}$=$\frac{OB}{OC}$，∵∠AOB=∠COF，
∴△AOB∽△FOC，
∴∠OAB=∠OFC，
∵∠OAB+∠OCB=90°，
∴∠AFO+∠OFC=90°，
∴CF⊥AE，∴CA=CE，∠ACE=90°，
∴CF=AF=EF=2$\sqrt{2}$，
在Rt△FGD中，∵DF=$\sqrt{2}$，∠D=45°，
∴FG=DG=1，
∴AG=$\sqrt{A{F}^{2}-G{F}^{2}}$=$\sqrt{8-1}$=$\sqrt{7}$，
∴AB=AD=$\sqrt{7}$+1，
在Rt△ACB中，BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{7}+1）^{2}}$=$\sqrt{7}$-1．
故答案为$\sqrt{7}$-1．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．