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24、已知:如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点E为边BC上一点,且AE=DC.
(1)求证:四边形AECD是平行四边形;
(2)当∠B=2∠DCA时,求证:四边形AECD是菱形.
分析:(1)由等腰梯形的性质(等腰梯形同一底上的角相等),可得∠B=∠DCB,又由等腰三角形的性质(等边对等角)证得∠DCB=∠AEB,即可得AE∥DC,则四边形AECD为平行四边形;
(2)根据平行线的性质,易得∠EAC=∠DCA,又由已知,由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA,根据等角对等边,即可得AE=CE,则四边形AECD为菱形.
解答:证明:(1)∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
∴∠B=∠DCB,(1分)
∵AE=DC,
∴AE=AB,(1分)
∴∠B=∠AEB,(1分)
∴∠DCB=∠AEB,(1分)
∴AE∥DC,(1分)
∴四边形AECD为平行四边形;(1分)

(2)∵AE∥DC,
∴∠EAC=∠DCA,(1分)
∵∠B=2∠DCA,∠B=∠DCB,
∴∠DCB=2∠DCA,(1分)
∴∠ECA=∠DCA,(1分)
∴∠EAC=∠ECA,(1分)
∴AE=CE,(1分)
∵四边形AECD为平行四边形,
∴四边形AECD为菱形.(1分)
点评:此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是仔细识图,应用数形结合思想解答.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:2011年河南省周口市初一下学期相交线与平行线专项训练 题型:解答题

如图,以Rt△ABO的直角顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=4,OB=3,一动点P从O出发沿OA方向,以每秒1个

单位长度的速度向A点匀速运动,到达A点后立即以原速沿AO返回;点Q从A点出发

沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动.当Q到达B时,P、Q两点同时停止

运动,设P、Q运动的时间为t秒(t>0).

(1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式;

(2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折,使得点A恰好落在AB边的点D处,如图①.

求出此时△APQ的面积.

(3) 在点P从O向A运动的过程中,在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

(4) 伴随着P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点F. 当DF经过原点O时,请直接写出t的值.

 

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科目:初中数学 来源:2011年河南省周口市初一下学期平移专项训练 题型:解答题

如图,以Rt△ABO的直角顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=4,OB=3,一动点P从O出发沿OA方向,以每秒1个

单位长度的速度向A点匀速运动,到达A点后立即以原速沿AO返回;点Q从A点出发

沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动.当Q到达B时,P、Q两点同时停止

运动,设P、Q运动的时间为t秒(t>0).

(1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式;

(2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折,使得点A恰好落在AB边的点D处,如图①.

求出此时△APQ的面积.

(3) 在点P从O向A运动的过程中,在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

(4) 伴随着P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点F. 当DF经过原点O时,请直接写出t的值.

 

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