在平面直角坐标系xOy中.已知二次函数的图象经过原点及点A(1.2).与x轴相交于另一点B(3.0).将点B向右平移3个单位得点C．(1)求二次函数的解析式,(2)点M在线段OC上.平面内有一点Q.使得四边形ABMQ为菱形.求点M坐标,(3)点P在线段OC上.从O点出发向C点运动.过P点作x轴的垂线.交直线AO于D点.以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF(当P点运动时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图象经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B（3，0），将点B向右平移3个单位得点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点M在线段OC上，平面内有一点Q，使得四边形ABMQ为菱形，求点M坐标；
（3）点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；
①当点E在二次函数的图象上时，求OP的长；
②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，若P点运动t秒时，直线AC与以DE为直径的⊙M相切，直接写出此刻t的值．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）可设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，利用二次函数的图象经过原点及点A（1，2），B（3，0），分别代入求出a，b，c的值即可；
（2）分M是AB的垂直平分线与x轴的交点；M在B点左边并且BM=AB；M在B点右边并且BM=AB；三种情况讨论可得点M坐标；
（3）①过A点作AH⊥x轴于H点，根据DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，进而求出OP的长；
②分两种情况讨论，求出t的值即可．

解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
∵二次函数的图象经过原点及点A（1，2），B（3，0），
∴

c=0

a+b+c=2

9a+3b+c=0

，
解得

a=-1

b=3

c=0

．
故二次函数解析式为：y=-x²+3x；

（2）M是AB的垂直平分线与x轴的交点，点M坐标是（1，0）（舍去）；
M在B点左边并且BM=AB，点M坐标是（3-2

，0）；
M在B点右边并且BM=AB，点M坐标是（3+2

，0）；
故点M坐标为（3-2

，0）或（3+2

，0）；

（3）①由已知可得C（6，0）
如图：过A点作AH⊥x轴于H点，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴

，
即

，
∴PD=2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函数y₁=-x²+3x的图象上，
∴a=

；
即OP=

．
②直线AC与以DE为直径的⊙M相切，此刻t的值为t=

168-12

167

或t=

168+12

167

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及菱形的性质，相似三角形的判定与性质以及待定系数法求解析式，根据已知分类讨论得出t的值是解题关键．

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（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1：2？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

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一户居民一个月用电量的范围	电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过200千瓦时的部分	0.61
超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分	0.66
超过400千瓦时的部分	0.91