Question

18．如图，已知直线y=$\frac{3}{4}$x+3与坐标轴分别交于A、B两点，M是以C（6，0）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结MA、MB，则△MAB面积的最大值是20．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥AB垂足为D，延长DC交圆C与点M，令x=0可求得点B的坐标，令y=0可求得点A的坐标，然后利用勾股定理可求得AB=5，然后证明△ABO∽△ACD，由相似三角形的性质可求得DC=6，从而得到DM=8，最后利用三角形的面积公式求解即可．

解答 解：如图所示：过点C作CD⊥AB垂足为D，延长DC交圆C与点M．

∵将x=0代入y=$\frac{3}{4}$x+3得；y=3，
∴点B的坐标为（0，3）．
∴OB=3．
∵将y=0代入y=$\frac{3}{4}$x+3得；$\frac{3}{4}x+3$=0，解得：x=-4．
∴点A的坐标为（-4，0）．
∴OA=4．
在Rt△ABO中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
∵点C的坐标为（6，0），
∴AC=10．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠AOB=90°．
又∵∠DAC=∠BAO，
∴△ABO∽△ACD．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{OB}{DC}$，即$\frac{5}{10}=\frac{3}{DC}$．
解得：DC=6．
∵圆C的半径为2，
∴MD=6+2=8．
∴${S}_{△ABM}=\frac{1}{2}AB•DM$=$\frac{1}{2}×5×8$=20．
故答案为：20．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、一次函数的图象和性质，掌握本题辅助线的作法是解题的关键．